Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足：S_n=

1

2

n²+

1

2

n．?dāng)?shù)列{b_n}滿足b₁=1，2b_n-b_n-1=0（n≥2，n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)c_n=a_nb_n，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，證明：1≤T_n＜4．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）利用a_n與s_n的關(guān)系求得a_n，由等比數(shù)列的定義求得b_n；
（Ⅱ）利用錯(cuò)位相減法求得T_n，進(jìn)行放縮即得結(jié)論成立．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)n＞1時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n；當(dāng)n=1時(shí)，求得a₁=S₁=1．
所以a_n=n．
因?yàn)?span id="naytd7x" class="MathJye">

bn

bn-1

=

1

2

且b₁=1，
所以bn=(

1

2

)n-1．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），知cn=n•(

1

2

)n-1．
所以Tn=1•(

1

2

)0+2•(

1

2

)1+…+n•(

1

2

)n-1，

1

2

Tn=1•(

1

2

)1+2•(

1

2

)2+…+n•(

1

2

)n，
于是

1

2

Tn=1+(

1

2

)1+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1-n•(

1

2

)n=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

-n•(

1

2

)n，
化簡(jiǎn)，得Tn=4-

2n+4

2n

．
因?yàn)?span id="uqxtozy" class="MathJye">

2n+4

2n

＞0，所以T_n＜4．
又因?yàn)?span id="rh9wqeb" class="MathJye">Tn+1-Tn=

n+1

2n

＞0，所以T_n＞T_n-1＞…＞T₁=1．
綜上，1≤Tn＜4．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列通項(xiàng)公式及數(shù)列求和的方法，屬常規(guī)題目，屬中檔題．