Question

多面體EABCDF中，底面ABCD是邊長為2的正方形，EA⊥底面ABCD，F(xiàn)D∥EA，且FD=1，EA=2．
（1）求多面體EABCDF的體積；
（2）若FG⊥EC于G，求證：FG∥面ABCD．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）首先，連接ED，多面體EABCDF的體積V=V_E-PCD+V_E-ABCD ，只有分別求解兩個棱錐的體積即可；
（2）設(shè)AC與BD相交于點O，連結(jié)OG，只需證明四邊形DOGF為平行四邊形即可．

解答： 解：（1）連接ED，
∵EA⊥底面ABCD，F(xiàn)D∥EA，
∴FD⊥底面ABCD，
∴FD⊥AD，F(xiàn)D∩AD=D，
∴AD⊥平面FDC，
V_E-PCD=

1

3

AD•S_△FDC=

1

3

×

1

2

×1×2×2=

2

3

，
V_E-ABCD=

1

3

EA•S_{正方形ABCD}=

1

3

×2×2×2=

8

3

，
∴多面體EABCDF的體積V=V_E-PCD+V_E-ABCD
=

2

3

+

8

3

=

10

3

；
（2）設(shè)AC與BD相交于點O，連結(jié)OG．
∵OG是△AEC的中位線∴OG∥AE，且AE=2OG，
∵由已知EA=2FD，
∴OG∥DF且OG=DF，
可得平面四邊形DOGF為平行四邊形，
∴FG∥OD，
又∵FG?ABCD，OD?ABCD，
∴FG∥面ABCD．

點評：本題重點考查了空間中直線與直線平行、垂直，直線與平面平行垂直，面面垂直等判定和性質(zhì)定理及其應(yīng)用，空間中棱錐的體積計算等知識，屬于重點題型，注意解決中點問題的一般思路：有中點取中點，相連得到中位線，本題屬于中檔題．