Question

【題目】已知的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)是，，的周長(zhǎng)為，是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)滿足.

（Ⅰ）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（Ⅱ）設(shè)不過(guò)原點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，若直線的斜率依次成等比數(shù)列，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）1.

【解析】

（Ⅰ）,點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓（不含左右頂點(diǎn)）.利用定義法求點(diǎn)軌跡方程，利用求出點(diǎn)的軌跡的方程即可.

（Ⅱ）設(shè)直線的方程為與點(diǎn)的軌跡的方程聯(lián)解，利用根與系數(shù)關(guān)系與直線的斜率依次成等比數(shù)列建立方程求出，再求出弦長(zhǎng)與.點(diǎn)到直線的距離.運(yùn)用三角形面積公式建立關(guān)于的表達(dá)式求出最值.

（Ⅰ）已知，所以，點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓（不含左右頂點(diǎn)）.

因?yàn)椋?/span>，，所以，，.

所以，點(diǎn)的軌跡方程為.

設(shè)，.由得，，又.

故，點(diǎn)的軌跡的方程為，即.

（Ⅱ）由題意可知，直線的斜率存在且不為，

故可設(shè)直線的方程為，，，

由，消去得，

則，

即，且，，

故.

∵直線的斜率依次成等比數(shù)列，

∴，

即，又，所以，即.

由，及直線的斜率存在，得，

∵，點(diǎn)到直線的距離

.

，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，

此時(shí)直線的方程為，的最大值為.