Question

【題目】已知橢圓：的離心率為，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）一條斜率為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)（不同于），直線和的斜率分別為，，滿足，試判斷直線是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）

【解析】

（1）由題意得：，把點(diǎn)代入橢圓方程，即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）設(shè)直線，由，再運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系，即可得出答案.

（1）由題意得： ，又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以 ，

解得 ，所以橢圓方程為：.

（2）設(shè) ，直線方程為

因?yàn)?/span>，所以

化簡(jiǎn)得：

直線與橢圓聯(lián)立: 得

把②代入①得：

或

當(dāng)時(shí)，直線方程為

此時(shí)直線恒過(guò)點(diǎn) ，又因?yàn)橹本�交橢圓于，兩點(diǎn)（不同于），

故該種情況不成立.

當(dāng)時(shí)，直線方程為

此時(shí)直線恒過(guò)點(diǎn)

綜上所述，直線恒過(guò)點(diǎn)