Question

【題目】已知點(diǎn)N在曲線上，直線與軸交于點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，記點(diǎn)的軌跡為

（1）求的軌跡方程；

（2）若過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在直線上 (為坐標(biāo)原點(diǎn))，求證：

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析.

【解析】

（1）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用構(gòu)造出坐標(biāo)的表達(dá)式，再利用點(diǎn)是曲線上的一點(diǎn)，代入即可求解；

（2）結(jié)合拋物線的定義及圖象，將問題轉(zhuǎn)化為證明垂直準(zhǔn)線

（1）)依題意，可得，設(shè)，

由，可得，解得，

因?yàn)辄c(diǎn)在，代入整理得，

即曲線的軌跡方程.

（2）設(shè)直線的方程是， ，

聯(lián)立方程組，整理得，

由

因?yàn)橹本� 的方程為，將的坐標(biāo)代人可得，

根據(jù)拋物線的定義，可得等于點(diǎn) 到準(zhǔn)線的距離，

由于 在準(zhǔn)線上，

所以要證明只需證明 垂直準(zhǔn)線，即證 軸，

因?yàn)?/span>的橫坐標(biāo)為

所以軸成立，所以成立.