Question

【題目】如圖所示，四棱錐中，平面，，，.

（1）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面？請(qǐng)證明你的結(jié)論；

（2）求平面和平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）存在；證明見解析（2）

【解析】

（1）當(dāng)點(diǎn)為棱的中點(diǎn)時(shí)，平面；取的中點(diǎn)，連結(jié)、、，由已知結(jié)合中位線的性質(zhì)可得且，進(jìn)而可得，由線面平行的判定即可得證；

（2）由題意建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)坐標(biāo)，再求出平面的一個(gè)法向量為與平面的一個(gè)法向量為，利用即可得解.

（1）當(dāng)點(diǎn)為棱的中點(diǎn)時(shí)，平面.

證明如下：

取的中點(diǎn)，連結(jié)、、，則且，

，，

且，

四邊形為平行四邊形，

，

平面，平面，

平面.

（2）在平面內(nèi)過點(diǎn)作直線的垂線，

平面，，，

直線、和兩兩垂直，

以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以直線、和為軸、軸和軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，過點(diǎn)作交直線于，

，，，

，，

從而可得，，，，，

則，，，.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則即，取，可得，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則即，取，可得

，

平面和平面所成銳二面角的余弦值為.