Question

【題目】設(shè)函數(shù)，為f（x）的導(dǎo)函數(shù)．

（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；

（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零點(diǎn)均在集合中，求f（x）的極小值；

（3）若，且f（x）的極大值為M，求證:M≤．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）見(jiàn)解析；

（3）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）由題意得到關(guān)于a的方程，解方程即可確定a的值；

（2）由題意首先確定a,b,c的值從而確定函數(shù)的解析式，然后求解其導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)即可確定函數(shù)的極小值.

（3）由題意首先確定函數(shù)的極大值M的表達(dá)式，然后可用如下方法證明題中的不等式：

解法一：由函數(shù)的解析式結(jié)合不等式的性質(zhì)進(jìn)行放縮即可證得題中的不等式；

解法二：由題意構(gòu)造函數(shù)，求得函數(shù)在定義域內(nèi)的最大值，

因?yàn)?/span>，所以．

當(dāng)時(shí)，．

令，則．

令，得．列表如下：

	+	0	–
		極大值

所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，且是最大值，故．

所以當(dāng)時(shí)，，因此．

（1）因?yàn)?/span>，所以．

因?yàn)?/span>，所以，解得．

（2）因?yàn)?/span>，

所以，

從而．令，得或．

因?yàn)?/span>，都在集合中，且，

所以．

此時(shí)，．

令，得或．列表如下：

				1
	+	0	–	0	+
		極大值		極小值

所以的極小值為．

（3）因?yàn)?/span>，所以，

．

因?yàn)?/span>，所以，

則有2個(gè)不同的零點(diǎn)，設(shè)為．

由，得．

列表如下：

	+	0	–	0	+
		極大值		極小值

所以的極大值．

解法一：

．因此．

解法二：

因?yàn)?/span>，所以．

當(dāng)時(shí)，．

令，則．

令，得．列表如下：

	+	0	–
		極大值

所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，且是最大值，故．

所以當(dāng)時(shí)，，因此．