Question

【題目】已知橢圓的短軸長(zhǎng)為，左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是橢圓上位于第一象限的任一點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若橢圓上點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，過(guò)點(diǎn)作垂直于軸，垂足為，連接并延長(zhǎng)交于另一點(diǎn)，交軸于點(diǎn).

（ⅰ）求面積最大值；

（ⅱ）證明：直線與斜率之積為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（�。�；（ⅱ）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）由，解方程組即可得到答案；

（2）（ⅰ）設(shè)，，則，，易得，注意到，利用基本不等式得到的最大值即可得到答案；（ⅱ）設(shè)直線斜率為，直線方程為，聯(lián)立橢圓方程得到的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)的斜率公式計(jì)算即可.

（1）設(shè)，由，得.

將代入，得，即，

由，解得，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）設(shè)，，則，

（ⅰ）易知為的中位線，所以，

所以，

又滿足，所以

，得，

故，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，

所以面積最大值為.

（ⅱ）記直線斜率為，則直線斜率為，

所以直線方程為.

由，得，

由韋達(dá)定理得，所以，

代入直線方程，得，

于是，直線斜率，

所以直線與斜率之積為定值.