Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若對時，不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍（e為自然對數(shù)的底數(shù)）；

（2）當(dāng)時，求函數(shù)的極大值；

（3）求證：當(dāng)時，曲線與直線有且僅有一個公共點.

Answer 1

【答案】（1）（2）0（3）見解析

【解析】

（1）因為，，所以不等式，構(gòu)造函數(shù)，即在上單調(diào)遞增，所以在恒成立，參變分離即可求出參數(shù)的取值范圍；

（2）當(dāng)時，，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即可得到函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)的極值；

（3）令，利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的零點個數(shù)，即可得證.

解：（1）因為，，

所以不等式恒成立等價于.

令，因為時，不等式恒成立，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，

所以在恒成立，

即在恒成立，而，

所以，即，

所以實數(shù)a的取值范圍為.

（2）當(dāng)時，，

則（），

令，恒成立，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，

又因為，

所以在上，在上，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)的極大值為.

（3）令，

則

因為，，

所以恒成立，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，

而，，

因為，，，

所以，

因為函數(shù)在上有且僅有一個零點，

所以當(dāng)時，曲線與直線有且只有一個公共點.