Question

【題目】已知橢圓的短軸兩端點(diǎn)與左焦點(diǎn)圍成的三角形面積為3，短軸兩端點(diǎn)與長(zhǎng)軸一端點(diǎn)圍成的三角形面積為2，設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為是橢圓上除兩點(diǎn)外一動(dòng)點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)作平行于直線（是坐標(biāo)原點(diǎn)）的直線，與曲線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，求證：成等比數(shù)列．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)題意和橢圓中的關(guān)系，列出方程組，解這個(gè)方程組即可；

（2）依題意，要證成等比數(shù)列，只需證，即．設(shè)出直線的方程、直線的方程，分別與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系，求出相應(yīng)線段的長(zhǎng)度進(jìn)行證明即可.

（1）解：依題意，得解得故橢圓的方程為．

（2）證明：依題意，要證成等比數(shù)列，

只需證，即．設(shè)直線，直線，

聯(lián)立得，，故．

聯(lián)立得．

設(shè)，則

，

∴，所以成等比數(shù)列．