Question

【題目】設(shè)函數(shù)，.

（1）判斷函數(shù)：在的單調(diào)性；

（2）對(duì)于區(qū)間上的任意不相等實(shí)數(shù)、，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，解方程得正根，然后對(duì)與區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論，分析導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，可得出函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；

（2）設(shè)，由函數(shù)、的單調(diào)性將化為，然后構(gòu)造函數(shù)，得出該函數(shù)在上單調(diào)遞減，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，利用參變量分離法得，并求出在上的最小值可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.

（1），，

令，得（舍負(fù)）.

①當(dāng)即時(shí)，，

所以在區(qū)間上的單調(diào)遞增；

②當(dāng)即時(shí)，，

.

所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.

綜上得：①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的單調(diào)遞增；

②當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；

（2）不妨設(shè)，當(dāng)時(shí)，，，

可化為，

，

設(shè)，則.

在上單調(diào)遞減，恒成立，

即在上恒成立，

，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

則，，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.