Question

如圖，為保護河上古橋OA，規(guī)劃建一座新橋BC，同時設(shè)立一個圓形保護區(qū)，規(guī)劃要求：新橋BC與河岸AB垂直；保護區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓，且古橋兩端O和A到該圓上任意一點的距離均不少于80m，經(jīng)測量，點A位于點O正北方向60m處，點C位于點O正東方向170m處（OC為河岸），tan∠BCO=

4

3

．
（1）求新橋BC的長；
（2）當(dāng)OM多長時，圓形保護區(qū)的面積最大？

Answer 1

考點：圓的切線方程,直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：（1）在四邊形AOCB中，過B作BE⊥OC于E，過A作AF⊥BE于F，設(shè)出AF，然后通過解直角三角形列式求解BE，進一步得到CE，然后由勾股定理得答案；
（2）設(shè)BC與⊙M切于Q，延長QM、CO交于P，設(shè)OM=xm，把PC、PQ用含有x的代數(shù)式表示，再結(jié)合古橋兩端O和A到該圓上任意一點的距離均不少于80m列式求得x的范圍，得到x取最小值時圓的半徑最大，即圓形保護區(qū)的面積最大．

解答： 解：（1）如圖，

過B作BE⊥OC于E，過A作AF⊥BE于F，
∵∠ABC=90°，∠BEC=90°，
∴∠ABF=∠BCE，
∴tan∠ABF=tan∠BCO=

4

3

．
設(shè)AF=4x（m），則BF=3x（m）．
∵∠AOE=∠AFE=∠OEF=90°，
∴OE=AF=4x（m），EF=AO=60（m），
∴BE=（3x+60）m．
∵tan∠BCO=

4

3

，
∴CE=

3

4

BE=(

9

4

x+45)（m）．
∴OC=(4x+

9

4

x+45)（m）．
∴4x+

9

4

x+45=170，
解得：x=20．
∴BE=120m，CE=90m，
則BC=150m；
（2）如圖，

設(shè)BC與⊙M切于Q，延長QM、CO交于P，
∵∠POM=∠PQC=90°，
∴∠PMO=∠BCO．
設(shè)OM=xm，則OP=

4

3

xm，PM=

5

3

xm．
∴PC=(

4

3

x+170)m，PQ=(

16

15

x+136)m．
設(shè)⊙M半徑為R，
∴R=MQ=(

16

15

x+136-

5

3

x)m=(136-

3

5

x)m．
∵A、O到⊙M上任一點距離不少于80m，
則R-AM≥80，R-OM≥80，
∴136-

3

5

x-（60-x）≥80，136-

3

5

x-x≥80．
解得：10≤x≤35．
∴當(dāng)且僅當(dāng)x=10時R取到最大值．
∴OM=10m時，保護區(qū)面積最大．

點評：本題考查圓的切線，考查了直線與圓的位置關(guān)系，解答的關(guān)鍵在于對題意的理解，是中檔題．