【題目】已知橢圓中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,直線
與橢圓
在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)是
,點(diǎn)
在
軸上的射影恰好是橢圓
的右焦點(diǎn)
,橢圓
另一個(gè)焦點(diǎn)是
,且
.
(1)求橢圓的方程;
(2)直線過(guò)點(diǎn)
,且與橢圓
交于
兩點(diǎn),求
的內(nèi)切圓面積的最大值.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)利用將點(diǎn)的橫坐標(biāo)
代入直線
,求得
點(diǎn)的坐標(biāo),代入
的坐標(biāo)運(yùn)算,求得
的值,也即求得
點(diǎn)的坐標(biāo),將
的坐標(biāo)代入橢圓,結(jié)合
,解方程組求得
的值,進(jìn)而求得橢圓方程.(2)設(shè)出直線
的方程,聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程并寫出根與系數(shù)關(guān)系,由此求得
的面積,利用導(dǎo)數(shù)求得面積的最大值,并由三角形與內(nèi)切圓有關(guān)的面積公式,求得內(nèi)切圓的半徑的最大值.
(1)設(shè)橢圓方程為,點(diǎn)
在直線
上,且點(diǎn)
在
軸上的射影恰好是橢圓
的右焦點(diǎn)
,則點(diǎn)
.
∵
∴
又
解得
∴橢圓方程為
(2)由(1)知,,過(guò)點(diǎn)
的直線與橢圓
交于
兩點(diǎn),
則的周長(zhǎng)為
,又
(
為三角形內(nèi)切圓半徑),
∴當(dāng)的面積最大時(shí),其內(nèi)切圓面積最大.
設(shè)直線的方程為:
,
,則
消去得
,
∴
∴
令,則
,∴
令,
當(dāng)時(shí),
,
在
上單調(diào)遞增,
∴,當(dāng)
時(shí)取等號(hào),
即當(dāng)時(shí),
的面積最大值為3,
結(jié)合,得
的最大值為
,
∴內(nèi)切圓面積的最大值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓:
的右焦點(diǎn)為
,過(guò)點(diǎn)
的直線(不與
軸重合)與橢圓
相交于
,
兩點(diǎn),直線
:
與
軸相交于點(diǎn)
,過(guò)點(diǎn)
作
,垂足為D.
(1)求四邊形(
為坐標(biāo)原點(diǎn))面積的取值范圍;
(2)證明直線過(guò)定點(diǎn)
,并求出點(diǎn)
的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】 下列命題正確的個(gè)數(shù)是( )
①命題“x0∈R,+1>3x0”的否定是“x∈R,x2+1≤3x”;
②“函數(shù)f(x)=cos2ax-sin2ax的最小正周期為π”是“a=1”的必要不充分條件;
③x2+2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立(x2+2x)min≥(ax)max在x∈[1,2]上恒成立;
④“平面向量a與b的夾角是鈍角”的充要條件是“a·b<0”.
A.1B.2
C.3D.4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時(shí),設(shè)函數(shù)
有最小值
,求
的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】明初出現(xiàn)了一大批杰出的騎兵將領(lǐng),比如徐達(dá)、常遇春、李文忠、藍(lán)玉和朱棣.明初騎兵軍團(tuán)擊敗了不可一世的蒙古騎兵,是當(dāng)時(shí)世界上最強(qiáng)騎兵軍團(tuán).假設(shè)在明軍與元軍的某次戰(zhàn)役中,明軍有8位將領(lǐng),善用騎兵的將領(lǐng)有5人;元軍有8位將領(lǐng),善用騎兵的有4人.
(1)現(xiàn)從明軍將領(lǐng)中隨機(jī)選取4名將領(lǐng),求至多有3名是善用騎兵的將領(lǐng)的概率;
(2)在明軍和元軍的將領(lǐng)中各隨機(jī)選取2人,為善用騎兵的將領(lǐng)的人數(shù),寫出
的分布列,并求
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,在直角梯形中,AB∥CD,
,且
.現(xiàn)以
為一邊向梯形外作正方形
,然后沿邊
將正方形
翻折,使平面
與平面
垂直,如圖2.
(Ⅰ)求證:BC⊥平面DBE;
(Ⅱ)求點(diǎn)D到平面BEC的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)在
處取得極值.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)在
上恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某花圃為提高某品種花苗質(zhì)量,開展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng),在,
實(shí)驗(yàn)地分別用甲、乙方法培訓(xùn)該品種花苗.為觀測(cè)其生長(zhǎng)情況,分別在實(shí)驗(yàn)地隨機(jī)抽取各50株,對(duì)每株進(jìn)行綜合評(píng)分,將每株所得的綜合評(píng)分制成如圖所示的頻率分布直方圖.記綜合評(píng)分為80及以上的花苗為優(yōu)質(zhì)花苗.
(Ⅰ)求圖中的值;
(Ⅱ)用樣本估計(jì)總體,以頻率作為概率,若在,
兩塊試驗(yàn)地隨機(jī)抽取3棵花苗,求所抽取的花苗中的優(yōu)質(zhì)花苗數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(Ⅲ)填寫下面的列聯(lián)表,并判斷是否有90%的把握認(rèn)為優(yōu)質(zhì)花苗與培育方法有關(guān).
優(yōu)質(zhì)花苗 | 非優(yōu)質(zhì)花苗 | 合計(jì) | |
甲培育法 | 20 | ||
乙培育法 | 10 | ||
合計(jì) |
附:下面的臨界值表僅供參考.
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | <>0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(參考公式:,其中
.)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,已知
平面
,且四邊形
為直角梯形,
,
,
.
(Ⅰ)求平面與平面
所成二面角(銳角)的余弦值;
(Ⅱ)點(diǎn)是線段
上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)直線
與
所成角最小時(shí),求線段
的長(zhǎng)度.
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