Question

(本小題滿分12分)
如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：的離心率，左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、。過(guò)右焦點(diǎn)且與軸垂直的直線與橢圓相交、兩點(diǎn)，且．
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為，下頂點(diǎn)為，動(dòng)點(diǎn)滿足，試求點(diǎn)的軌跡方程，使點(diǎn)關(guān)于該軌跡的對(duì)稱點(diǎn)落在橢圓上．
                                    

Answer 1

 ，P的軌跡方程為或

（1）∵軸，∴，由橢圓的定義得：
∵，∴……………………2分
又得，∴，∵，∴，，
∴，
∴所求橢圓的方程為……………………5分
（2）由（1）知點(diǎn)，點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
則，，
由得，
∴點(diǎn)的軌跡方程為……………………7分
設(shè)點(diǎn)B關(guān)于P的軌跡的對(duì)稱點(diǎn)為，則由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，，解得，……………………9分
∵點(diǎn)在橢圓上，∴，整理得
，解得或。
∴點(diǎn)P的軌跡方程為或，……………………11分
經(jīng)檢驗(yàn)和都符合題設(shè)，
∴滿足條件的點(diǎn)P的軌跡方程為或……………………12分