Question

【題目】在如圖所示的四棱錐中，四邊形為平行四邊形，為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，是異面直線和的公垂線．

（1）證明：平面平面；

（2）記的重心為，求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）．

【解析】

（1）為的中點(diǎn)，利用等邊三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)是異面直線與的公垂線，可得．可得平面．進(jìn)而得出：平面平面．

（2）根據(jù)，為中點(diǎn)，可得，又是異面直線與的公垂線，可得，可得：平面．建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，可得，由，，的坐標(biāo)可得的重心．設(shè)直線與平面所成角為，則，．

解：（1）證明：因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，所以在等邊中，

又因?yàn)?/span>是異面直線和的公垂線，所以

又因?yàn)?/span>，平面，所以平面

因?yàn)?/span>平面，所以平面平面

（2）因?yàn)?/span>、為中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?/span>是異面直線和的公垂線，

所以，，所以為等腰直角三角形

連接，，

因?yàn)?/span>，平面，平面平面且平面平面

所以平面

因此，以為原點(diǎn)，分別以、、所在的直線為、、軸建系如圖所示：

則，，，

因?yàn)樗倪呅?/span>為平行四邊形，設(shè)

因?yàn)?/span>，所以

所以

設(shè)面的一個(gè)法向量為

，

由

令，則，，所以

因?yàn)?/span>，，，

所以的重心為的坐標(biāo)為，

設(shè)直線與平面所成角為，則