【題目】已知函數(shù)
，
．
（Ⅰ）若
，討論函數(shù)
的單調(diào)性；
（Ⅱ）若對(duì)任意的
，都有
，求實(shí)數(shù)
的取值范圍．
【答案】（Ⅰ）分類討論，詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）
．
【解析】
（Ⅰ）求導(dǎo)后，分別在
、
和
三種情況下求得
的正負(fù)，由此可確定
單調(diào)性；
（Ⅱ）令
，分別在
、
和
三種情況下，利用導(dǎo)數(shù)確定
單調(diào)性和最值，進(jìn)而確定符合題意的取值范圍.
（Ⅰ）由題意得：定義域?yàn)?/span>
，
則
，
①當(dāng)時(shí)，
由
可得：
或
；由
可得：
；
的單調(diào)增區(qū)間為
，
，單調(diào)遞減區(qū)間為
；
②當(dāng)時(shí)，則
，此時(shí)的單調(diào)遞增區(qū)間為；
③當(dāng)時(shí)，
由可得：
或
；由可得：
；
的單調(diào)增區(qū)間為
，
，單調(diào)遞減區(qū)間為
；
綜上所述：當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
（Ⅱ）令，則
，
，
①當(dāng)時(shí)，令
，解得：
，
，
，
，
當(dāng)
時(shí)，
，
在
上單調(diào)遞增，
，滿足題意；
②當(dāng)時(shí)，由①知：
，
當(dāng)
時(shí)，
，在
上單調(diào)遞減，
則當(dāng)時(shí)，
，不合題意；
③當(dāng)時(shí)，
，則，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)
時(shí)，，不合題意；
綜上所述：實(shí)數(shù)
的取值范圍為.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】在如圖所示的四棱錐
中，四邊形
為平行四邊形，
為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，
，點(diǎn)
，
分別為
，
的中點(diǎn)，
是異面直線和
的公垂線．
（1）證明：平面
平面
；
（2）記
的重心為
，求直線
與平面所成角的正弦值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】為了解全市統(tǒng)考情況，從所有參加考試的考生中抽取4000名考生的成績(jī)，頻率分布直方圖如下圖所示.
（1）求這4000名考生的半均成績(jī)
（同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)作代表）；
（2）由直方圖可認(rèn)為考生考試成績(jī)z服從正態(tài)分布
，其中
分別取考生的平均成績(jī)和考生成績(jī)的方差
，那么抽取的4000名考生成績(jī)超過(guò)84.81分（含84.81分）的人數(shù)估計(jì)有多少人？
（3）如果用抽取的考生成績(jī)的情況來(lái)估計(jì)全市考生的成績(jī)情況，現(xiàn)從全市考生中隨機(jī)抽取4名考生，記成績(jī)不超過(guò)84.81分的考生人數(shù)為
，求
.（精確到0.001）
附：①
；
②
，則
；
③
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】保險(xiǎn)公司對(duì)一個(gè)擁有20000人的企業(yè)推出一款意外險(xiǎn)產(chǎn)品，每年每位職工只要交少量保費(fèi)，發(fā)生意外后可一次性獲得若干賠償金，保險(xiǎn)公司把企業(yè)的所有崗位共分為
三類工種，從事這三類工種的人數(shù)分別為12000，6000，2000，由歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)出三類工種的賠付頻率如下表(并以此估計(jì)賠付概率)：
已知三類工種職工每人每年需交的保費(fèi)分別為25元25元40元，出險(xiǎn)后的賠償金額分別為100萬(wàn)元100萬(wàn)元50萬(wàn)元，保險(xiǎn)公司在開展此項(xiàng)業(yè)務(wù)過(guò)程中的固定支出為每年10萬(wàn)元.
（1）設(shè)A類工種職工的每份保單保險(xiǎn)公司的收益為隨機(jī)變量X(元)，求X的數(shù)學(xué)期望；
（2）若該公司全員參加保險(xiǎn)，求保險(xiǎn)公司該業(yè)務(wù)所獲利潤(rùn)的期望值；
（3）現(xiàn)有如下兩個(gè)方案供企業(yè)選擇：
方案1：企業(yè)不與保險(xiǎn)公司合作，職工不交保險(xiǎn)，若出意外，企業(yè)自行拿出與保險(xiǎn)公司提供的等額賠償金賠付給出意外職工，且企業(yè)開展這項(xiàng)工作每年還需另外固定支出12萬(wàn)元；
方案2：企業(yè)與保險(xiǎn)公司合作，企業(yè)負(fù)責(zé)職工保費(fèi)的70%，職工個(gè)人負(fù)責(zé)保費(fèi)的30%，出險(xiǎn)后賠償金由保險(xiǎn)公司賠付，企業(yè)無(wú)額外專項(xiàng)開支.
請(qǐng)根據(jù)企業(yè)成本差異給出選擇合適方案的建議.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】下圖是某校某班44名同學(xué)的某次考試的物理成績(jī)y和數(shù)學(xué)成績(jī)x的散點(diǎn)圖：
根據(jù)散點(diǎn)圖可以看出y與x之間有線性相關(guān)關(guān)系，但圖中有兩個(gè)異常點(diǎn)A，B．經(jīng)調(diào)查得知，A考生由于重感冒導(dǎo)致物理考試發(fā)揮失常，B生因故未能參加物理考試．為了使分析結(jié)果更科學(xué)準(zhǔn)確，剔除這兩組數(shù)據(jù)后，對(duì)剩下的數(shù)據(jù)作處理，得到一些統(tǒng)計(jì)量的值：
，
，
，
，
，其中
，
分別表示這42名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)、物理成績(jī)，
．y與x的相關(guān)系數(shù)
．
（1）若不剔除A、B兩名考生的數(shù)據(jù)，用44數(shù)據(jù)作回歸分析，設(shè)此時(shí)y與x的相關(guān)系數(shù)為
，試判斷與r的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）求y關(guān)于x的線性回歸方程（系數(shù)精確到
），并估計(jì)如果B考生參加了這次物理考試（已知B考生的數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?/span>125分），物理成績(jī)是多少？（精確到個(gè)位）．
附：回歸方程
中，
．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】設(shè)拋物線
的焦點(diǎn)為
，直線
與拋物線交于
兩點(diǎn).
（1）若過(guò)點(diǎn)，且
，求的斜率；
（2）若
，且的斜率為
，當(dāng)
時(shí)，求在
軸上的截距的取值范圍（用
表示），并證明
的平分線始終與軸平行.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】設(shè)函數(shù)
.
（1）若函數(shù)
有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)
的取值范圍；
（2）設(shè)
，若當(dāng)
時(shí)，函數(shù)
的兩個(gè)極值點(diǎn)
滿足
，求證：
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】（本小題滿分12分）一個(gè)盒子里裝有三張卡片，分別標(biāo)記有數(shù)字
，
，
，這三張卡片除標(biāo)記的數(shù)字外完全相同。隨機(jī)有放回地抽取次，每次抽取張，將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為
，
，
.
（Ⅰ）求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足
”的概率；
（Ⅱ）求“抽取的卡片上的數(shù)字，，不完全相同”的概率.
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