Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）是定義在（﹣∞，0）上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且有3f（x）+xf′（x）＞0，則
不等式（x+2015）3f（x+2015）+27f（﹣3）＞0的解集（ ）
A.（﹣2018，﹣2015）
B.（﹣∞，﹣2016）
C.（﹣2016，﹣2015）
D.（﹣∞，﹣2012）

Answer 1

【答案】A
【解析】解：構(gòu)造函數(shù)g（x）=x3f（x），g′（x）=x2（3f（x）+xf′（x））；
∵3f（x）+xf′（x）＞0，x2＞0；
∴g′（x）＞0；
∴g（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞增；
g（x+2015）=（x+2015）3f（x+2015），g（﹣3）=﹣27f（﹣3）；
∴由不等式（x+2015）3f（x+2015）+27f（﹣3）＞0得：
（x+2015）3f（x+2015）＞﹣27f（﹣3）；
∴g（x+2015）＞g（﹣3）；
∴x+2015＞﹣3，且x+2015＜0；
∴﹣2018＜x＜﹣2015；
∴原不等式的解集為（﹣2018，﹣2015）．
故選A．
根據(jù)條件，構(gòu)造函數(shù)g（x）=x3f（x），利用函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可判斷出該函數(shù)在（﹣∞，0）上為增函數(shù)，然后將所求不等式轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)值的關(guān)系，根據(jù)單調(diào)性得出自變量值的關(guān)系從而解出不等式即可．