Question

如圖，設(shè)橢圓動(dòng)直線與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限.
（１）已知直線的斜率為，用表示點(diǎn)的坐標(biāo)；
（２）若過原點(diǎn)的直線與垂直，證明：點(diǎn)到直線的距離的最大值為.

Answer 1

（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）詳見解析．

試題分析：（1）已知直線的斜率為，用表示點(diǎn)的坐標(biāo)，由已知橢圓動(dòng)直線與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，可設(shè)出直線的方程為，結(jié)合橢圓方程，得，消去得，，令，得，即，代入原式得點(diǎn)的坐標(biāo)為，再由點(diǎn)在第一象限，得，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）點(diǎn)到直線的距離的最大值為，由直線過原點(diǎn)且與垂直，得直線的方程為，利用點(diǎn)到直線距離公式可得，即，由式子特點(diǎn)，需消去即可，注意到，代入即可證明．
（1）設(shè)直線的方程為，由，消去得，，由于直線與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，故，即，解得點(diǎn)的坐標(biāo)為，由點(diǎn)在第一象限，故點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（2）由于直線過原點(diǎn)，且與垂直，故直線的方程為，所以點(diǎn)到直線的距離，整理得，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824053456652866.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以點(diǎn)到直線的距離的最大值為.
點(diǎn)評：本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)，點(diǎn)單直線距離，直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，同時(shí)考查解析幾何得基本思想方法，基本不等式應(yīng)用等綜合解題能力。