Question

【題目】如圖，線段、交于點(diǎn)，在的延長(zhǎng)線上任取一點(diǎn)，得凸四邊形，求證：、、的外接圓三圓共點(diǎn)。

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

記與的外接圓分別為圓、圓，因?yàn)閮蓤A已知有一個(gè)公共點(diǎn)，所以，兩圓的位置或是相切或是相交。

（1）圓、圓相切。由于點(diǎn)在圓內(nèi)部，因此，圓內(nèi)切于圓，切點(diǎn)為，

如圖，記與圓交于，聯(lián)結(jié)，過作兩圓的公切線。由弦切角定理得

又由圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)得。

因此，.所以，、、、四點(diǎn)共圓。

這說明、、的外接圓三圓共點(diǎn)。

（2）圓、圓相交。記兩圓的另一交點(diǎn)為，當(dāng)為或時(shí)，就是三個(gè)外接圓的公共點(diǎn)；當(dāng)既不是也不是時(shí)，分以下四種情況討論。

（i）如圖，在之外，聯(lián)結(jié)、、，則，所以，、、、四點(diǎn)共圓。這說明、、的外接圓三圓共點(diǎn)。

（ii）如圖，在內(nèi)，聯(lián)結(jié)、、，則，又由圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)得。因此，，所以，、、、四點(diǎn)共圓，這說明、、的外接圓三圓共點(diǎn)。

（iii）如圖，在之外，證明同（i）。

（iv）如圖，在內(nèi)，證明同（ii）。綜上，、、的外接圓三圓共點(diǎn)。