Question

【題目】已知橢圓（）的左右焦點分別為，左右頂點分別為，過右焦點且垂直于長軸的直線交橢圓于兩點，，的周長為.過點作直線交橢圓于第一象限的點，直線交橢圓于另一點，直線與直線交于點；

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若的面積為，求直線的方程；

（3）證明：點在定直線上.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）見解析

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)，即可由此即可求出橢圓的方程；

（2）分直線MN的斜率存在和不存在兩種情況，利用韋達定理求出弦長，然后再根據(jù)點到直線的距離公式求出高的長度，再根據(jù)的面積為，即可求出結(jié)果；

（3）設(shè)：，與橢圓聯(lián)立，可得，設(shè)：，同理可得 ，可得的方程為：，又直線方程過，將代入直線方程，由此可得，因為與交于點，所以可得，由此即可求出結(jié)果.

（1），解得：；

所以橢圓方程為：.

（2）設(shè)，①當直線MN斜率存在時：設(shè)MN方程為，聯(lián)立得：，

，；

；

到MN直線的距離為，

；

當時，MN直線方程過直線MN與橢圓的交點不在第一象限（舍）；

所以MN方程為.

②當直線MN斜率不存在時，（舍）.

綜上：直線MN方程為：

（3）設(shè)：，與橢圓聯(lián)立：，

同理設(shè)：，可得

所以的方程為：以及方程過，將坐標代入可得：， .

又因為與交于P點，即，，將代入得，所以點P在定直線上 .