Question

【題目】已知函數(shù)在處有極值．

（1）求的解析式；

（2）若關于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由題意得出可得出關于、的方程組，解出這兩個量的值，進而可求得函數(shù)的解析式；

（2）構造函數(shù)，由題意可知，不等式對任意的恒成立，求出導數(shù)，對實數(shù)進行分類討論，分析函數(shù)在區(qū)間上的單調性，求出其最大值，通過解不等式可求得實數(shù)的取值范圍.

（1），，

因為函數(shù)在處有極值，

得，，解得，，

所以；

（2）不等式恒成立，

即不等式恒成立，

令，

則不等式對任意的恒成立，則.

．

又函數(shù)的定義域為.

①當時，對任意的，，則函數(shù)在上單調遞增．

又，所以不等式不恒成立；

②當時，．

令，得，當時，；當時，．

因此，函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減．

故函數(shù)的最大值為，由題意得需.

令，函數(shù)在上單調遞減，

又，由，得，，

因此，實數(shù)的取值范圍是；