【題目】給定公差大于0的有限正整數(shù)等差數(shù)列,其中,
為質(zhì)數(shù).甲、乙兩人輪流從
個(gè)石子中取石子,規(guī)定:每次每人可取
個(gè)石子,取走的石子不再放回,甲先取,取到最后一個(gè)石子者為勝.試問:誰有必勝策略?
【答案】見解析
【解析】
設(shè),其中,
.
令,
.
那么,當(dāng)時(shí),乙有必勝策略;當(dāng)
時(shí),甲有必勝策略;當(dāng)
時(shí),兩人都有不輸?shù)牟呗?/span>.
證明如下:
(1)當(dāng)時(shí),乙的策略為:若甲取
個(gè)石子,則由等差數(shù)列的性質(zhì),存在
,使
,乙取
個(gè)石子.這樣,乙每次都保證他取后剩下的石子數(shù)模
余0,這使得甲每次都不能使他取后剩下的石子數(shù)模
余0,從而,甲無法取到最后一個(gè)石子.又每次操作,甲、乙合起來共取
個(gè)石子,而
是
的倍數(shù),若干次操作后,石子全部取走,乙可取到最后一個(gè)石子,故乙獲勝.
(2)當(dāng)時(shí),甲的策略為:先取走
個(gè)石子,則剩下的石子數(shù)模
余0,轉(zhuǎn)化為前面的情形(1),故甲獲勝.
(3)當(dāng)時(shí),證明兩人都有不輸?shù)牟呗?/span>.
由于,考察模數(shù)列
.
因?yàn)?/span>的各項(xiàng)互不相同,所以,
的各項(xiàng)互不相同.由此可以斷言
的各項(xiàng)不能都屬于
.
否則,是
的一個(gè)排列,所以,
,即
.
則.
又
,
可得.故
.
因?yàn)?/span>為質(zhì)數(shù),所以,
或
.
但,
,矛盾,所以,
中至少有一項(xiàng),設(shè)為
,它不屬于
.又由
可知,
.
從而,.
由此可見,甲可取個(gè)石子,使剩下的石子數(shù)模
的余數(shù)仍屬于
,下一次操作無法取走所有石子.
類似地,乙也有同樣的策略,直至無法取出石子,游戲終止.
于是,兩人都有不輸?shù)牟呗?/span>.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】把,
,
,
四本不同的書分給三位同學(xué),每人至少分到一本,每本書都必須有人分到,
,
不能同時(shí)分給同一個(gè)人,則不同的分配方式共有__________種(用數(shù)字作答).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓
的左焦點(diǎn)為
,右頂點(diǎn)為
,上頂點(diǎn)為
.
(1)已知橢圓的離心率為,線段
中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為
,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知△外接圓的圓心在直線
上,求橢圓的離心率
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列滿足
,
.
(1)求的通項(xiàng)公式;
(2)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中,
,
,求
的前
項(xiàng)和
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)
,直線
,設(shè)圓
的半徑為1, 圓心在
上.
(1)若圓心也在直線
上,過點(diǎn)
作圓
的切線,求切線方程;
(2)若圓上存在點(diǎn)
,使
,求圓心
的橫坐標(biāo)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】新高考方案的實(shí)施,學(xué)生對(duì)物理學(xué)科的選擇成了焦點(diǎn)話題. 某學(xué)校為了了解該校學(xué)生的物理成績,從,兩個(gè)班分別隨機(jī)調(diào)查了40名學(xué)生,根據(jù)學(xué)生的某次物理成績,得到
班學(xué)生物理成績的頻率分布直方圖和
班學(xué)生物理成績的頻數(shù)分布條形圖.
(Ⅰ)估計(jì)班學(xué)生物理成績的眾數(shù)、中位數(shù)(精確到
)、平均數(shù)(各組區(qū)間內(nèi)的數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表);
(Ⅱ)填寫列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認(rèn)為物理成績與班級(jí)有關(guān)?
物理成績 | 物理成績 | 合計(jì) | |
| |||
| |||
合計(jì) |
附:列聯(lián)表隨機(jī)變量
;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)),曲線
的極坐標(biāo)方程為
.
(1)將曲線的參數(shù)方程化為普通方程,將曲線
的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程.
(2)曲線,
是否相交?若相交,請求出公共弦長;若不相交,請說明理由.
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