Question

【題目】給定公差大于0的有限正整數(shù)等差數(shù)列，其中，為質(zhì)數(shù)．甲、乙兩人輪流從個(gè)石子中取石子，規(guī)定：每次每人可取個(gè)石子，取走的石子不再放回，甲先取，取到最后一個(gè)石子者為勝．試問(wèn)：誰(shuí)有必勝策略？

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

設(shè)，其中，．

令，．

那么，當(dāng)時(shí)，乙有必勝策略；當(dāng)時(shí)，甲有必勝策略；當(dāng)時(shí)，兩人都有不輸?shù)牟呗?/span>．

證明如下：

（1）當(dāng)時(shí)，乙的策略為：若甲取個(gè)石子，則由等差數(shù)列的性質(zhì)，存在，使，乙取個(gè)石子．這樣，乙每次都保證他取后剩下的石子數(shù)模余0，這使得甲每次都不能使他取后剩下的石子數(shù)模余0，從而，甲無(wú)法取到最后一個(gè)石子．又每次操作，甲、乙合起來(lái)共取個(gè)石子，而是的倍數(shù)，若干次操作后，石子全部取走，乙可取到最后一個(gè)石子，故乙獲勝．

（2）當(dāng)時(shí)，甲的策略為：先取走個(gè)石子，則剩下的石子數(shù)模余0，轉(zhuǎn)化為前面的情形（1），故甲獲勝．

（3）當(dāng)時(shí)，證明兩人都有不輸?shù)牟呗?/span>．

由于，考察模數(shù)列．

因?yàn)?/span>的各項(xiàng)互不相同，所以，的各項(xiàng)互不相同．由此可以斷言的各項(xiàng)不能都屬于．

否則，是的一個(gè)排列，所以，

，即．

則．

又 ，

可得．故．

因?yàn)?/span>為質(zhì)數(shù)，所以，或．

但，，矛盾，所以，中至少有一項(xiàng)，設(shè)為，它不屬于．又由可知，．

從而，．

由此可見，甲可取個(gè)石子，使剩下的石子數(shù)模的余數(shù)仍屬于，下一次操作無(wú)法取走所有石子．

類似地，乙也有同樣的策略，直至無(wú)法取出石子，游戲終止．

于是，兩人都有不輸?shù)牟呗?/span>．