Question

【題目】如圖，已知點(diǎn)，點(diǎn)均在圓上，且，過點(diǎn)作的平行線分別交，于兩點(diǎn).

（1）求點(diǎn)的軌跡方程；

（2）過點(diǎn)的動(dòng)直線與點(diǎn)的軌跡交于兩點(diǎn)．問是否存在常數(shù)，使得點(diǎn)為定值？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在常數(shù)符合題意，理由詳見解析.

【解析】

（1）由平面幾何的相關(guān)性質(zhì)可得，則，即點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，再求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可；

（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，，，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，消元列出韋達(dá)定理，則代入計(jì)算可得的值，再計(jì)算斜率不存在時(shí)的值，即可得解；

解：（1）由，得，

由，得，所以.

由，知，

所以，即，

所以，

所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓.

這里，，所以，，

則點(diǎn)的軌跡方程為：.

（2）當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)，，，

聯(lián)立得，

其判別式，

所以，，

，

所以當(dāng)時(shí)，，

此時(shí)為定值.

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，.

綜上，存在常數(shù)，使得為定值img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2020/11/26/22/0c62e4d8/SYS202011262207475451781454_DA/SYS202011262207475451781454_DA.037.png" width="22" height="19" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />.