Question

P(x0,y0)(x0≠±a)是雙曲線E:-=1(a>0,b>0)上一點,M,N分別是雙曲線E的左,右頂點,直線PM,PN的斜率之積為.

(1)求雙曲線的離心率.

(2)過雙曲線E的右焦點且斜率為1的直線交雙曲線于A,B兩點,O為坐標原點,C為雙曲線上一點,滿足=λ+,求λ的值.

 

Answer 1

(1) (2) λ=0或λ=-4

【解析】【思路點撥】(1)代入P點坐標,利用斜率之積為列方程求解.

(2)聯(lián)立方程,設出A,B,的坐標,代入=λ+求解.

【解析】
(1)由點P(x0,y0)(x0≠±a)在雙曲線-=1上,有-=1.

由題意又有·=,

可得a2=5b2,c2=a2+b2=6b2,則e==.

(2)聯(lián)立方程得

得4x2-10cx+35b2=0,

設A(x1,y1),B(x2,y2),

則

設=(x3,y3),=λ+,

即

又C為雙曲線E上一點,即-5=5b2,

有(λx1+x2)2-5(λy1+y2)2=5b2,

化簡得:λ2(-5)+(-5)+2λ(x1x2-5y1y2)=5b2,

又A(x1,y1),B(x2,y2)在雙曲線E上,

所以-5=5b2,-5=5b2.

又x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c)

=-4x1x2+5c(x1+x2)-5c2=10b2,

得:λ2+4λ=0,解出λ=0或λ=-4.