Question

設(shè)a是一個自然數(shù)，f（a）是a的各位數(shù)字的平方和，定義數(shù)列{a_n}：a₁是自然數(shù)，a_n=f（a_n-1）（n∈N^*，n≥2）．
（Ⅰ）求f（99），f（2014）；
（Ⅱ）若a₁≥100，求證：a₁＞a₂；
（Ⅲ）求證：存在m∈N^*，使得a_m＜100．

Answer 1

考點：數(shù)列的應(yīng)用

專題：壓軸題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）利用新定義，可求f（99），f（2014）；
（Ⅱ）假設(shè)a₁是一個n位數(shù)（n≥3），設(shè)出a₁，由a₂=f（a₁）可得，a2=bn2+bn-12+…+b32+b22+b12．作差，即可得證；
（Ⅲ）利用反證法進(jìn)行證明即可．

解答： （Ⅰ）解：f（99）=9²+9²=162；f（2014）=2²+0²+1²+4²=21．                       
（Ⅱ）證明：假設(shè)a₁是一個n位數(shù)（n≥3），
那么可以設(shè)a1=bn•10n-1+bn-1•10n-2+…+b3•102+b2•10+b1，
其中0≤b_i≤9且b_i∈N（1≤i≤n），且b_n≠0．
由a₂=f（a₁）可得，a2=bn2+bn-12+…+b32+b22+b12．a1-a2=(10n-1-bn)bn+(10n-2-bn-1)bn-1+…+(102-b3)b3+(10-b2)b1+(1-b1)b1
=(10n-1-bn)bn+(10n-2-bn-1)bn-1+…+(102-b3)b3+(10-b2)b1+(1-b1)b1
所以a1-a2≥(10n-1-bn)bn-(b1-1)b1．
因為b_n≠0，所以（10^n-1-b_n）b_n≥99．
而（b₁-1）b₁≤72，
所以a₁-a₂＞0，即a₁＞a₂．                       
（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）可知當(dāng)a₁≥100時，a₁＞a₂．
同理當(dāng)a_n≥100時，a_n＞a_n+1．
若不存在m∈N^*，使得a_m＜100．
則對任意的n∈N^*，有a_n≥100，總有a_n＞a_n+1．
則a_n≤a_n-1-1，可得a_n≤a₁-（n-1）．
取n=a₁，則a_n≤1，與a_n≥100矛盾．
存在m∈N^*，使得a_m＜100．

點評：本題考查數(shù)列的應(yīng)用，考查新定義，考查反證法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度較大．