Question

【題目】在正三棱錐P﹣ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，，點E在線段AB上，且AE＝2EB，過點E作該正三棱錐外接球的截面，則所得截面圓面積的最小值是（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

構造以PA，PB，PC為棱長的正方體PADB﹣CFGH，且該正方體棱長為，以B為原點，BP為x軸，BD為y軸，BH為z軸，建立空間直角坐標系，則該正三棱錐外接球球心為AH中點O，半徑為R，求出EO，當所得截面圓面積取最小值時截面圓的圓心為E，從而當所得截面圓面積取最小值時截面圓的半徑為r，由此能求出所得截面圓面積的最小值.

∵在正三棱錐P﹣ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，，

∴構造以PA，PB，PC為棱長的正方體PADB﹣CFGH，且該正方體棱長為，

以B為原點，BP為x軸，BD為y軸，BH為z軸，建立空間直角坐標系，

則該正三棱錐外接球球心為AH中點O，半徑為R，

∵點E在線段AB上，且AE＝2EB，

∴E（，，0），O（），

EO，

過點E作該正三棱錐外接球的截面，當所得截面圓面積取最小值時截面圓的圓心為E，

∴當所得截面圓面積取最小值時截面圓的半徑為：

r，

∴過點E作該正三棱錐外接球的截面，

則所得截面圓面積的最小值為S＝πr2.

故選：A.