Question

（本題滿(mǎn)分15分）設(shè)M是由滿(mǎn)足下列條件的函數(shù)構(gòu)成的集合：“①方程有實(shí)數(shù)根；②函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿(mǎn)足”
（I）證明：函數(shù)是集合M中的元素；
（II）證明：函數(shù)具有下面的性質(zhì)：對(duì)于任意，都存在，使得等式成立。 
（III）若集合M中的元素具有下面的性質(zhì)：若的定義域?yàn)镈，則對(duì)于任意[m，n]，都存在，使得等式成立。試用這一性質(zhì)證明：對(duì)集合M中的任一元素，方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根。

Answer 1

(Ⅰ) 見(jiàn)解析  (Ⅱ) 見(jiàn)解析 （Ⅲ）見(jiàn)解析

（I）證明：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231313050521544.gif" style="vertical-align:middle;" />，又因?yàn)楫?dāng)x=0時(shí)，，所以方程有實(shí)數(shù)根0。
所以函數(shù)是集合M中的元素。       ………………4分
（II）證明：，
[m，n] 。
又，。
也就是；
………………9分
（III）假設(shè)方程f（x）-x=0存在兩個(gè)實(shí)數(shù)根不妨設(shè)，根據(jù)題意存在數(shù)
使得等式成立。
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231313055981031.gif" style="vertical-align:middle;" />
與已知矛盾，所以方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根�！�…15分