Question

【題目】已知函數(shù)，．

（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值．

（）若對(duì)，恒成立，求的取值范圍．

（）求證：，．

Answer 1

【答案】(1) 單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是， ，無(wú)最小值．(2) (3)見(jiàn)解析

【解析】分析：（1）先求函數(shù)定義域，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間及最值。（2）由，恒成立，等價(jià)變形為對(duì)，恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)求h(x)的最大值，即可求。（3）由（）知，當(dāng)，時(shí)，，即，令，得，即，依次令，，，，，不等式同向相加可證。

詳解：（）的定義域?yàn)?/span>，，

令得，令，得，

∴的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是，

，無(wú)最小值．

（）若對(duì)，恒成立，

則對(duì)，恒成立，

即對(duì)，恒成立，

令，則，

當(dāng)時(shí)，顯然，

∴在上是減函數(shù)，

∴當(dāng)時(shí)，，

∴，即的取值范圍是．

（）證明：由（）知，當(dāng)，時(shí)，，即，

在上式中，令，得，即，

依次令，，，，，

得，，， ，

將這個(gè)式子左右兩邊分別相加得，

即，．