Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）＝asinωx+bcosωx（ω＞0）的定義域為R，最小正周期為π，且對任意實數(shù)x，恒有成立．

（1）求實數(shù)a和b的值；

（2）作出函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，π）上的大致圖象；

（3）若兩相異實數(shù)x1、x2∈（0，π），且滿足f（x1）＝f（x2），求f（x1+x2）的值．

Answer 1

【答案】（1）a＝2，b＝2．（2）見解析 （3）f（x1+x2）＝2．

【解析】

（1）將f（x）＝asinωx+bcosωx化為f（x）sin（ωx+φ），由題意可得，從而可求得a和b的值；

（2）由f（x）＝4sin（2x）利用五點作圖法即可作出其大致圖象；

（3）當0＜x1＜x2時，x1+x2，當x1＜x2＜π時，x1+x2，從而可求得f（x1+x2）的值．

解（1）∵f（x）＝asinωx+bcosωxsin（ωx+φ）（ω＞0），

又f（x）≤f（）＝4恒成立，

∴4，即a2+b2＝16．…①

∵f（x）的最小正周期為π，

∴ω2，

即f（x）＝asin2x+bcos2x（ω＞0）．

又f（x）max＝f（）＝4，

∴asinbcos4，

即ab＝8．…②

由①、②解得a＝2，b＝2．

（2）由（1）知f（x）＝2sin2x+2cos2x＝4sin（2x）．

∵0＜x＜π，

∴2x，列表如下：

∴函數(shù)f（x）的圖象如圖所示：

（3）∵f（x1）＝f（x2），由f（x）＝4sin（2x）知，f（0）＝f（）＝2，

如圖：

∴當0＜x1＜x2時，x1+x2＝2，

∴f（x1+x2）＝f（）＝42；

當x1＜x2＜π時，x1+x2＝2，

∴f（x1+x2）＝f（）＝4sin2

綜上，f（x1+x2）＝2．