Question

證明下列命題：
（1）若函數(shù)f（x）可導(dǎo)且為周期函數(shù)，則f′（x）也為周期函數(shù)；
（2）可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù),導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）利用復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式及周期性定義即可證明；
（2）利用復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式及奇偶性定義即可證明；

解答： 證明：（1）設(shè)f（x）的周期為T(mén)，則f（x）=f（x+T）．
∴f′（x）=[f（x+T）]′=f′（x+T）•（x+T）′
=f′（x+T），即f′（x）為周期函數(shù)且周期與f（x）的周期相同．…（5分）
（2）∵f（x）為奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x）．
∴[f（-x）]′=[-f（x）]′．
∴f′（-x）•（-x）′=-f′（x）．
∴f′（-x）=f′（x），即f′（x）為偶函數(shù)        …（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式及周期性及奇偶性的證明，有一定的綜合性