Question

【題目】已知函數(shù)在處的切線與軸平行．

（Ⅰ）試討論在上的單調(diào)性；

（Ⅱ）（�。┰O(shè)，求的最小值；

（ⅱ）證明： ．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) 答案見(jiàn)解析；(Ⅱ) （�。�2.（ⅱ）證明見(jiàn)解析.

【解析】分析：（Ⅰ）由函數(shù)的解析式可得，滿足題意時(shí)，則，據(jù)此分類討論可得：

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

（Ⅱ）（ⅰ）由題意可得：，則函數(shù)的最小值為.

（ⅱ）由（Ⅰ）知，利用分析法可得題中的不等式等價(jià)于.由導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)可得：，據(jù)此即可證得題中的結(jié)論.

詳解：（Ⅰ），

當(dāng)時(shí)，時(shí)時(shí)，

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

當(dāng)時(shí)，時(shí)時(shí)，

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

（Ⅱ）（ⅰ）∵，

∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增∴．

（ⅱ）由（Ⅰ）知，

∴由，可得，

即，

，

，

，

即，

設(shè)，

，

在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．

，

又∵在時(shí)，，

∴成立．

即成立．