Question

【題目】已知數(shù)列滿足，當(dāng)時(shí)，.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析；

【解析】

（1）根據(jù)原等式遞推，得到和之間的關(guān)系，然后得到數(shù)列是等差數(shù)列，最后根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，也可將已知等式轉(zhuǎn)化為和之間的關(guān)系式，得到數(shù)列是等差數(shù)列，并求出，再根據(jù)和之間的關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）先由（1）得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，并將其轉(zhuǎn)化為可以裂項(xiàng)的形式，再利用裂項(xiàng)相消法求得，最后根據(jù)數(shù)列的增減性即可證明.

解：（1）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，①

所以，②

②-①得，，即，即，

又，所以，

所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，

所以，所以.

故數(shù)列的通項(xiàng)公式為.

（2）由（1）知，

所以，

所以

.

又?jǐn)?shù)列是遞減數(shù)列，所以，

所以，

故.