Question

【題目】設以的邊為長軸且過點的橢圓的方程為橢圓的離心率，面積的最大值為，和所在的直線分別與直線相交于點，.

（1）求橢圓的方程；

（2）設與的外接圓的面積分別為，，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）運用橢圓的離心率公式、三角形面積公式和的關系，可得，進而得到橢圓方程；

（2）設，將直線、直線分別與直線，求出、的坐標，可得；設，，分別為和外接圓的半徑，利用正弦定理可得， ，可求的，再利用二次函數的性質，即可求出結果.

（1）依題意：

所以.

橢圓的方程為.

（2）設，則，，.

直線與直線聯立得.

直線與直線聯立得.

.

設，，分別為和外接圓的半徑，在中，所以.

在中，所以，

.

又，所以.

令，而，所以.

.

所以，即時，取得最小值，最小值為.