Question

【題目】已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為高為其內(nèi)切球與面切于點(diǎn)，球面上與距離最近的點(diǎn)記為，若平面過(guò)點(diǎn)，且與平行，則平面截該正四棱錐所得截面的面積為______.

Answer 1

【答案】

【解析】

取中點(diǎn)，連，取中點(diǎn)，連，則平面，根據(jù)已知可得為正三角形，正棱錐內(nèi)切球的球心為正的內(nèi)心，與面切于點(diǎn)為中點(diǎn)，球面上與距離最近的點(diǎn)為與球面的交點(diǎn)，即在之間且長(zhǎng)為內(nèi)切球的半徑，連并延長(zhǎng)交于，平面過(guò)與平行，可得平面分別與平面、平面的交線為過(guò)與平行的直線，即可得到截面為梯形，根據(jù)長(zhǎng)度關(guān)系，即可求解.

取中點(diǎn)，連，取中點(diǎn)，連，

則，為正方形的中心，四棱錐是正四棱錐，

所以平面，，

在中，，

同理，所以為正三角形，

所以正四棱錐內(nèi)切球的球心為正的內(nèi)心，

內(nèi)切球的半徑是正的內(nèi)切圓半徑為，

內(nèi)切球與平面的切點(diǎn)為正內(nèi)切圓與直線的切點(diǎn)，

所以為中點(diǎn)，球面上與距離最近的點(diǎn)為連與球面的交點(diǎn)，

即在之間，且，因此為中點(diǎn)，

連并延長(zhǎng)交于，平面過(guò)與直線平行，

設(shè)平面分別與平面、平面交于，

因?yàn)?/span>平面，所以，又因?yàn)?/span>，，

所以，同理可證，所以，連，

則梯形為所求的截面，因?yàn)?/span>，

，所以平面平面，

所以，所以，

連，則為的角平分線，所以，

又因?yàn)?/span>分別為的中點(diǎn)，所以，

所以，而，所以，

所以，

又，所以，

所以截面梯形的面積.

故答案為：.