Question

【題目】動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，點(diǎn)滿足，已知點(diǎn)的軌跡是過點(diǎn)的圓．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（，在軸的同側(cè)），，為橢圓的左、右焦點(diǎn)，若，求四邊形面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）3．

【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)，，得到，點(diǎn)的軌跡是過的圓，故，得到橢圓方程.

（2）如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由對(duì)稱性可知：，設(shè)，，直線的方程為，聯(lián)立方程得到，，計(jì)算，利用均值不等式得到答案.

（1）設(shè)點(diǎn)，，則點(diǎn)，，，

，，，

點(diǎn)在橢圓上，，即為點(diǎn)的軌跡方程．

又點(diǎn)的軌跡是過的圓，，解得，

所以橢圓的方程為．

（2）如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由對(duì)稱性可知：，

由（1）可知，，

設(shè)，，直線的方程為，

由可得，，

，，

，

設(shè)與的距離為，則四邊形面積

，

而，

，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)．

故四邊形面積的最大值為3．