Question

【題目】已知函數(shù)，且的最小值為．

（1）求實數(shù)的值及函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；

（2）當(dāng)時，若函數(shù)有且僅有一個零點，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）或；，；（2）或．

【解析】

（1）先根據(jù)二倍角公式及輔助角公式將函數(shù)化為（，，為常數(shù)，且，）的形式，再根據(jù)函數(shù)的最小值求實數(shù)的值，最后根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）將在上有僅有一個零點等價轉(zhuǎn)化為時，與的圖象有且僅有一個交點，然后數(shù)形結(jié)合即可求解．

（1）由題意知，

，

其中，

由的最小值為，得，

解得或，

∵，∴，

∴．

令，，解得，，

故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，．

（2）∵在上有僅有一個零點，

∴當(dāng)時，與的圖象有且僅有一個交點．

當(dāng)時，，

令，，，則與，的圖象有且僅有一個交點，數(shù)形結(jié)合可知當(dāng)或時符合要求，

即或時符合要求，

故實數(shù)的取值范圍為或．