Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）恰有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；（2）.

【解析】

（1）先根據(jù)題意求得函數(shù)的定義域，再對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；

（2）先將函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)等價(jià)轉(zhuǎn)化為方程在上恰有一解，然后換元，構(gòu)造函數(shù)，利用分類討論思想進(jìn)行求解，也可分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合即可求解．

（1）由題意知，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，則，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是．

（2）解法1、由函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于方程在上恰有一解，即方程在上恰有一解，

令，易知在上單調(diào)遞增，

且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，

所以方程在上恰有一解，

記，則．

①當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)單調(diào)遞增，

又當(dāng)時(shí)，，且，

所以當(dāng)時(shí)，方程在上恰有一解，滿足題意．

②當(dāng)時(shí)，方程在上恰有一解，滿足題意．

③當(dāng)時(shí)，由，得，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．

又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以當(dāng)，即時(shí)，方程在上恰有一解．

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為．

解法2、 函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于方程在上恰有一解，即方程在上恰有一解．

令，易知在上單調(diào)遞增，

且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，

所以方程在上恰有一解，

即方程在上恰有一解．

令，則，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，，，

所以作出函數(shù)的大致圖象，如圖所示，

數(shù)形結(jié)合可知，或．

故實(shí)數(shù)的取值范圍為．