Question

數(shù)列、的每一項(xiàng)都是正數(shù),,,且、、成等差數(shù)列,、、成等比數(shù)列,.
（Ⅰ）求、的值；
（Ⅱ）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）記，證明：對(duì)一切正整數(shù)，有.

Answer 1

(Ⅰ)；（Ⅱ），；（Ⅲ）答案詳見(jiàn)解析.

解析試題分析：(Ⅰ)依題意，，，并結(jié)合已知，，利用賦值法可求、的值；（Ⅱ）由①，②，且，則，（），代入①中，得關(guān)于的遞推公式，故可判斷數(shù)列是等差數(shù)列，從而可求出，代入（）中，求出（），再檢驗(yàn)時(shí)，是否滿足，從而求出；（Ⅲ）和式表示數(shù)列的前項(xiàng)和，故先求通項(xiàng)公式，再選擇相應(yīng)的求和方法求和，再證明和小于.
試題解析：(Ⅰ)由，可得.由，可得.
（Ⅱ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/0a/9/cnf8h1.png" style="vertical-align:middle;" />、、成等差數(shù)列，所以…①.因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/cb/f/u3gm2.png" style="vertical-align:middle;" />、、成等比數(shù)列，所以，因?yàn)閿?shù)列、的每一項(xiàng)都是正數(shù)，所以…②.于是當(dāng)時(shí)…③.  將②、③代入①式，可得，因此數(shù)列是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列，
所以，于是.   則.
當(dāng)時(shí)，，滿足該式子，所以對(duì)一切正整數(shù)，都有.
（Ⅲ）方法一:，所以.
于是
.
方法二:.
于是
.
考點(diǎn)：1、等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)；2、數(shù)列的遞推公式；3、數(shù)列求和.