Question

【題目】已知函數(shù)， 為自然對數(shù)的底數(shù)， .

（1）試討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時， 恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 當(dāng)時， 在上單調(diào)遞增；當(dāng)時， 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

(2) .

【解析】試題分析：（1）對函數(shù)求導(dǎo)，關(guān)注定義域，對參數(shù) a進行討論，得出函數(shù)的單調(diào)性；（2）解決恒成立的最基本方法就是分離參數(shù)，化為對時恒成立．設(shè)右邊為函數(shù)g(x),通過兩次求導(dǎo)研究函數(shù)g(x)的單調(diào)性和最大值，最后利用極值原理得出a的范圍.

試題解析：

（1）的定義域為， ．

若時，則，∴在上單調(diào)遞增；

若時，則由，∴．

當(dāng)時， ，∴在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時， ，∴在上單調(diào)遞減．

綜上所述，當(dāng)時， 在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時， 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

（2）由題意得： 對時恒成立，

∴對時恒成立．

令，（ ），

∴．　

令，

∴對時恒成立，

∴在上單調(diào)遞減，

∵，

∴當(dāng)時， ，∴， 在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時， ，∴， 在上單調(diào)遞減.

∴在處取得最大值，

∴的取值范圍是.