Question

【題目】如圖，在五面體ABCDEF中，點(diǎn)O是矩形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，面CDE是等邊三角形，棱。

（1）證明FO∥平面CDE；

（2）設(shè)BC=CD，證明EO⊥平面CDE。

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) 證明見解析；

【解析】

（1）利用中點(diǎn)做輔助線，構(gòu)造出平行四邊形即可證明線面平行；（2）根據(jù)所給條件構(gòu)造出菱形，再根據(jù)兩個(gè)對(duì)應(yīng)的線段垂直關(guān)系即可得到線面垂直.

證明：（1）取CD中點(diǎn)M，連結(jié)OM，連結(jié)EM，

在矩形ABCD中，又,

則,于是四邊形EFOM為平行四邊形。

∴FO∥EM.

又∵FO平面CDE，且EM平面CDE，

∴FO∥平面CDE。

（2）連結(jié)FM,

由（1）和已知條件，在等邊ΔCDE中，CM=DM,EM⊥CD

且

因此平行四邊形EFOM為菱形，從而EO⊥FM.

∵CD⊥OM,CD⊥EM

∴CD⊥平面EOM，

從而CD⊥EO.

而FMCD=M,所以EO⊥平面CDF.