【題目】已知函數(shù),
.
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當時,函數(shù)
在
是否存在零點?如果存在,求出零點;如果不存在,請說明理由.
【答案】(1)見解析;(2)不存在零點.
【解析】
(1)先求導數(shù),再根據(jù)導函數(shù)零點分類討論,根據(jù)導函數(shù)符號確定單調(diào)性,(2)先利用導數(shù)求在
上最大值
,再構(gòu)造函數(shù)
,利用導數(shù)證得
,化簡證得
,從而確定
在
不存在零點.
(1)函數(shù)的定義域為
,
(一)當時,
時,
,
單調(diào)遞增;
時,
,
單調(diào)遞減.
(二)時,方程
有兩解
或1
①當時,
時,
,
在
,
上單調(diào)遞減.
時,
,
單調(diào)遞增.
②當時,令
,得
或
(i)當時,
時
恒成立,
在
上單調(diào)遞增;
(ii)當時,
.
時,
,
在
、
上單調(diào)遞增.
時,
,
單調(diào)遞減.
(iii)當時,
時,
,在
,
單調(diào)遞增.
時,
,
單調(diào)遞減.
綜上所述,當時,
的單調(diào)遞增區(qū)間為
,單調(diào)遞減區(qū)間為
;
當時,
的單調(diào)遞增區(qū)間為
,單調(diào)遞減區(qū)間為
,
;
當時,
在
上單調(diào)遞增;
當時,
的單調(diào)遞增區(qū)間為
、
,單調(diào)遞減區(qū)間為
;
當時,
的單調(diào)遞增區(qū)間為
,
,單調(diào)遞減區(qū)間為
.
(2)由(1)可知當時,
的單調(diào)遞增區(qū)間為
,單調(diào)遞減區(qū)間為
,在
處取得極大值也是最大值
.
令,則
,令
得
,
當,
,當
,
,
所以在定義域上先增后減,在
處取最大值0,所以
,
,
所以,
,
,所以
即,
又,所以
函數(shù)
在
不存在零點.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】將函數(shù)的圖像向右平移
個單位長度,再將所得圖像上的每個點的橫坐標伸長為原來的2倍,縱坐標不變,所得圖像關(guān)于直線
對稱,則
的最小正值為( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知點A(a,3),圓C:(x﹣1)2+(y﹣2)2=4.
(1)設(shè)a=4,求過點A且與圓C相切的直線方程;
(2)設(shè)a=3,直線l過點A且被圓C截得的弦長為,求直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的右焦點為
,長半軸長與短半軸長的比值為
.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)經(jīng)過點的直線
與橢圓
相交于不同的兩點
,
.若點
在以線段
為直徑的圓上,求直線
的方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】2019年全國“兩會”,即中華人民共和國第十三屆全國人大二次會議和中國人民政治協(xié)商會議第十三屆全國委員會第二次會議,分別于2019年3月5日和3月3日在北京召開.為了了解哪些人更關(guān)注“兩會”,某機構(gòu)隨機抽取了年齡在15~75歲之間的200人進行調(diào)查,并按年齡繪制的頻率分布直方圖如下圖所示,把年齡落在區(qū)間[15,35)和[35,75]內(nèi)的人分別稱為“青少年人”和“中老年人”.經(jīng)統(tǒng)計“青少年人”和“中老年人”的人數(shù)之比為19:21.其中“青少年人”中有40人關(guān)注“兩會”,“中老年人”中關(guān)注“兩會”和不關(guān)注“兩會”的人數(shù)之比是2:1.
(Ⅰ)求圖中的值;
(Ⅱ)現(xiàn)采用分層抽樣在[25,35)和[45,55)中隨機抽取8名代表,從8人中任選2人,求2人中至少有1個是“中老年人”的概率是多少?
(Ⅲ)根據(jù)已知條件,完成下面的2×2列聯(lián)表,并根據(jù)此統(tǒng)計結(jié)果判斷:能否有99.9%的把握認為“中老年人”比“青少年人”更加關(guān)注“兩會”?
關(guān)注 | 不關(guān)注 | 合計 | |
青少年人 | |||
中老年人 | |||
合計 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】2019年全國“兩會”,即中華人民共和國第十三屆全國人大二次會議和中國人民政治協(xié)商會議第十三屆全國委員會第二次會議,分別于2019年3月5日和3月3日在北京召開.為了了解哪些人更關(guān)注“兩會”,某機構(gòu)隨機抽取了年齡在15~75歲之間的200人進行調(diào)查,并按年齡繪制的頻率分布直方圖如下圖所示,把年齡落在區(qū)間[15,35)和[35,75]內(nèi)的人分別稱為“青少年人”和“中老年人”.經(jīng)統(tǒng)計“青少年人”和“中老年人”的人數(shù)之比為19:21.其中“青少年人”中有40人關(guān)注“兩會”,“中老年人”中關(guān)注“兩會”和不關(guān)注“兩會”的人數(shù)之比是2:1.
(Ⅰ)求圖中的值;
(Ⅱ)現(xiàn)采用分層抽樣在[25,35)和[45,55)中隨機抽取8名代表,從8人中任選2人,求2人中至少有1個是“中老年人”的概率是多少?
(Ⅲ)根據(jù)已知條件,完成下面的2×2列聯(lián)表,并根據(jù)此統(tǒng)計結(jié)果判斷:能否有99.9%的把握認為“中老年人”比“青少年人”更加關(guān)注“兩會”?
關(guān)注 | 不關(guān)注 | 合計 | |
青少年人 | |||
中老年人 | |||
合計 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
.
(1)若函數(shù)圖像在點處的切線斜率為
時,求
的值,并求此時函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間;
(2)若,
為函數(shù)
的兩個不同極值點,證明:
.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知圓的圓心在射線
上,截直線
所得的弦長為6,且與直線
相切.
(1)求圓的方程;
(2)已知點,在直線
上是否存在點
(異于點
),使得對圓
上的任一點
,都有
為定值
?若存在,請求出點
的坐標及
的值;若不存在,請說明理由.
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