Question

【題目】已知在△ABC中， ．
（1）求角B的大小；
（2）若a+c=1，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：cosC+（cosA﹣ sinA）cosB=0，

∴﹣cos（A+B）+cosAcosB﹣ sinAcosB=0，

化為sinAsinB﹣ sinAcosB=0，

∵sinA≠0，

∴sinB﹣ cosB=0，

∵cosB≠0，

∴tanB= ，

∵B∈（0，π）．

解得B= ．

（2）解：∵a+c=1，

∴1≥2 ，

化為ac≤ ．

由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣3ac=1﹣3ac≥ ，當(dāng)且僅當(dāng)a=c= 時(shí)取等號(hào)．

∴b≥ ．

又b＜a+c=1．

∴b的取值范圍是[ ，1）．

【解析】（1）由cosC+（cosA﹣ sinA）cosB=0，可得﹣cos（A+B）+cosAcosB﹣ sinAcosB=0，可化為tanB= ，即可得出．（2）由a+c=1，利用基本不等式的性質(zhì)化為ac≤ ．由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣3ac=1﹣3ac，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用兩角和與差的余弦公式和兩角和與差的正弦公式的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握兩角和與差的余弦公式：；兩角和與差的正弦公式：．