Question

【題目】若點(diǎn)為點(diǎn)在平面上的正投影，則記.如圖，在棱長為的正方體中，記平面為，平面為，點(diǎn)是棱上一動點(diǎn)（與、不重合），.給出下列三個結(jié)論：

①線段長度的取值范圍是；

②存在點(diǎn)使得平面；

③存在點(diǎn)使得.

其中，所有正確結(jié)論的序號是（ ）

A.①②③B.②③C.①③D.①②

Answer 1

【答案】D

【解析】

以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，然后利用向量法來判斷出命題①②③的正誤.

取的中點(diǎn)，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，再過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn).

在正方體中，平面，平面，，

又，，平面，即，，

同理可證，，則，.

以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，.

對于命題①，，，則，則，所以，，命題①正確；

對于命題②，，則平面的一個法向量為，

，令，解得，

所以，存在點(diǎn)使得平面，命題②正確；

對于命題③，，令，

整理得，該方程無解，所以，不存在點(diǎn)使得，命題③錯誤.

故選：D.