Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若，求函數(shù)的極值；

（2）當(dāng) 時(shí)，判斷函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析.

【解析】試題分析：（1）求導(dǎo)數(shù)得，又，所以，由此可得函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求得極值；

（2）由，得。因此分和兩種情況判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)零點(diǎn)存在定理判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

試題解析：

（1）∵，

∴，

因?yàn)?/span>，所以，

當(dāng)x變化時(shí)， 的變化情況如下表：

				1
		0		0
	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

由表可得當(dāng)時(shí)， 有極大值，且極大值為，

當(dāng)時(shí)， 有極小值，且極小值為.

（2）由（1）得。

∵，∴.

① 當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增，在上遞減

又因?yàn)?/span>

所以在（0,1）和（1,2）上各有一個(gè)零點(diǎn)，

所以上有兩個(gè)零點(diǎn)。

② 當(dāng)，即時(shí)， 在上單調(diào)遞增，在上遞減，在上遞增，

又因?yàn)?/span>

所以在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，在上沒有零點(diǎn)，

所以在上有且只有只有一個(gè)零點(diǎn).

綜上：

當(dāng)時(shí)， 在上有兩個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)， 在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)。