Question

圓C的方程為（x-2）²+y²=4，圓M的方程為（x-2-5cosθ）²+（y-5sinθ）²=1（θ∈R），過圓M上任意一點P作圓C的兩條切線PE，PF，切點分別是E，F(xiàn)，則的最小值是（ ）
A．12
B．10
C．6
D．5

Answer 1

【答案】分析：由兩圓的圓心距|CM|=5大于兩圓的半徑之和可得兩圓相離，如圖所示，則的最小值是，利用
 兩個向量的數(shù)量積的定義求出的值，即為所求．
解答：解：（x-2）²+y²=4的圓心C（2，0），半徑等于2，
圓M  （x-2-5cosθ）²+（y-5sinθ）²=1，
圓心M（2+5cosθ，5sinθ），半徑等于1．
∵|CM|==5＞2+1，故兩圓相離．
∵=•cos∠EPF，要使   最小，需 最小，且∠EPF 最大，
如圖所示，設(shè)直線CM 和圓M交于H、G兩點，則的最小值是．
|H C|=|CM|-1=5-1=4，|H E|===2，
sin∠CHE==，
∴cos∠EHF=cos2∠CHE=1-2sin²∠CHE=，
∴=|H E|•|H E|•cos∠EHF=2×2×=6，
故選 C．
點評：本題考查兩圓的位置關(guān)系，兩圓的切線，兩個向量的數(shù)量積的定義，二倍角的余弦公式，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，判斷的最小值是，是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．