Question

圓C的方程為（x-2）²+y²=4，圓M的方程為（x-2-5sinθ）²+（y-5cosθ）²=1（θ∈R），過圓C上任意一點P作圓M的兩條切線PE、PF，切點分別為E、F，則

PE

•

PF

的最小值是（　�。�

• A、6
• B、

  56

  9

• C、7
• D、

  65

  9

Answer 1

分析：由兩圓的圓心距|CM|=5大于兩圓的半徑之和可得兩圓相離，如圖所示，則

PE

•

PF

的最小值是

HE

•

HF

，
利用 兩個向量的數(shù)量積的定義求出

HE

•

HF

的值，即為所求．

解答：解：（x-2）²+y²=4的圓心C（2，0），半徑等于2，圓M  （x-2-5sinθ）²+（y-5cosθ）²=1，
圓心M（2+5sinθ，5cosθ），半徑等于1．∵|CM|=

(5sinθ)2+(5cosθ)2

=5＞2+1，故兩圓相離．
∵

PE

•

PF

=|

PE

|•

|PF|

•cos∠EPF，要使 

PE

•

PF

 最小，需|

PE

| 和 

|PF|

 最小，且∠EPF 最大，
如圖所示，設直線CM 和圓C 交于H、G兩點，則

PE

•

PF

的最小值是

HE

•

HF

．
|H M|=|CM|-2=5-2=3，|H E|=

|HM|2-|ME|2

=

9-1

=2

2

，sin∠MHE=

|ME|

|MH|

=

1

3

，
∴cos∠EHF=cos2∠MHE=1-2sin²∠MHE=

7

9

，
∴

HE

•

HF

=|H E|•|H E|•cos∠EHF=2

2

×2

2

×

7

9

=

56

9

，故選 B．

點評：本題考查兩圓的位置關系，兩圓的切線，兩個向量的數(shù)量積的定義，二倍角的余弦公式，體現(xiàn)了數(shù)形結合
的數(shù)學思想，判斷

PE

•

PF

的最小值是

HE

•

HF

，是解題的關鍵，屬于中檔題．