Question

（2009•湖北模擬）圓C的方程為（x-2）²+y²=4，圓M的方程為（x-2-5cosθ）²+（y-5sinθ）²=1（θ∈R），過圓M上任意一點P作圓C的兩條切線PE，PF，切點分別是E，F(xiàn)，則

PE

•

PF

的最小值是（　　）

A．12

B．10

C．6

D．5

Answer 1

分析：由兩圓的圓心距|CM|=5大于兩圓的半徑之和可得兩圓相離，如圖所示，則

PE

•

PF

的最小值是

HE

•

HF

，利用
 兩個向量的數(shù)量積的定義求出

HE

•

HF

的值，即為所求．

解答：解：（x-2）²+y²=4的圓心C（2，0），半徑等于2，
圓M  （x-2-5cosθ）²+（y-5sinθ）²=1，
圓心M（2+5cosθ，5sinθ），半徑等于1．
∵|CM|=

(5cosθ)2+(5sinθ)2

=5＞2+1，故兩圓相離．
∵

PE

•

PF

=|

PE

|•

|PF|

•cos∠EPF，要使 

PE

•

PF

 最小，需|

PE

| 和 

|PF|

 最小，且∠EPF 最大，
如圖所示，設(shè)直線CM 和圓M交于H、G兩點，則

PE

•

PF

的最小值是

HE

•

HF

．
|H C|=|CM|-1=5-1=4，|H E|=

|HC|2-|CE|2

=

16-4

=2

3

，
sin∠CHE=

|CE|

|CH|

=

1

2

，
∴cos∠EHF=cos2∠CHE=1-2sin²∠CHE=

1

2

，
∴

HE

•

HF

=|H E|•|H E|•cos∠EHF=2

3

×2

3

×

1

2

=6，
故選 C．

點評：本題考查兩圓的位置關(guān)系，兩圓的切線，兩個向量的數(shù)量積的定義，二倍角的余弦公式，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，判斷

PE

•

PF

的最小值是

HE

•

HF

，是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．