Question

【題目】已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，點(diǎn)E，F，G分別為棱AB，AA1，C1D1的中點(diǎn)．下列結(jié)論中，正確結(jié)論的序號(hào)是______．

①過E，F，G三點(diǎn)作正方體的截面，所得截面為正六邊形；

②B1D1∥平面EFG；

③BD1⊥平面ACB1；

④異面直線EF與BD1所成角的正切值為；

⑤四面體ACB1D1的體積等于a3

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

根據(jù)公理3，作截面可知①正確；根據(jù)直線與平面的位置關(guān)系可知②不正確；根據(jù)線面垂直的判定定理可知③正確；根據(jù)異面直線所成的角的定義求得異面直線EF與BD1的夾角的正切值為，可知④正確；用正方體體積減去四個(gè)正三棱錐的體積可知⑤不正確．

解：延長EF分別與B1A1，B1B的延長線交于N，Q，連接GN交A1D1于H，

設(shè)HG與B1C1的延長線交于P，連接PQ交CC1于I，交BC于M，

連FH，HG，GI，IM，ME，則截面六邊形EFHGIM為正六邊形，故①正確；

B1D1與HG相交，故B1D1與平面 EFG相交，所以②不正確；

∵BD1⊥AC，BD1⊥B1C，且AC與B1C相交，所以BD1⊥平面ACB1，故③正確；

取的中點(diǎn)，連接，則，

所以就是異面直線EF與BD1的夾角，

設(shè)正方體的邊長為，可得：,,,

所以是直接三角形.可得：.

可得異面直線EF與BD1的夾角的正切值為，故④正確；

四面體ACB1D1的體積等于正方體的體積減去四個(gè)正三棱錐的體積，

即為，故⑤不正確．

故答案為：①③④