【題目】已知曲線
是中心在原點，焦點在
軸上的雙曲線的右支，它的離心率剛好是其對應(yīng)雙曲線的實軸長，且一條漸近線方程是
，線段
是過曲線右焦點
的一條弦，
是弦的中點。
（1）求曲線的方程；
（2）求點到
軸距離的最小值；
（3）若作出直線
，
使點在直線
上的射影
滿足
.當(dāng)點
在曲線上運動時，求
的取值范圍.
（參考公式：若
為雙曲線
右支上的點，為右焦點，則
.（
為離心率））
【答案】（1）
； （2）點
到
軸距離的最小值為
；（3）
.
【解析】
（1）根據(jù)已知設(shè)雙曲線的右支方程，離心率剛好是其對應(yīng)雙曲線的實軸長，可以得到
的關(guān)系，一條漸近線方程是
，可以得到
的關(guān)系，而
，三個等式聯(lián)立，可以求出的值，最后求出雙曲線的右支方程，別忘記寫上
的取值范圍。
（2）根據(jù)斜率是否存在進行分類討論：當(dāng)存在斜率時，設(shè)出直線方程與雙曲線右支方程聯(lián)立，求出滿足條件的斜率取值范圍，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求出點的橫坐標(biāo)的大小，求出點到軸距離的取值范圍。當(dāng)不存在斜率時，求出點到軸距離，綜合兩種情形得出結(jié)論。
（3）由
可以得到
，這樣可以求出
與
的關(guān)系，由焦半徑公式可以求出，兩個式子聯(lián)立，可以求出點的橫坐標(biāo)，利用（2）的結(jié)論，可以求出
的取值范圍。
（1）設(shè)
，離心率剛好是其對應(yīng)雙曲線的實軸長，所以有
①，一條漸近線方程是所以有
②，而③，三個方程聯(lián)立，可求出
，所以曲線
的方程是：
（2）由（1）知，曲線的右焦點
的坐標(biāo)為
，若弦
的斜率存在，
則弦的方程為：
，代入雙曲線方程得：
.
設(shè)點
， 
，
由
，解得：
，點到軸距離：
而當(dāng)弦的斜率不存在時，點到軸距離
。
所以點到軸距離的最小值為.
（3）
點在直線
上的射影
滿足，
，
到直線
的距離
……①
由焦半徑公式
……②
將②代入①，得：
，
， 
.
名牌學(xué)校分層周周測系列答案
黃岡海淀全程培優(yōu)測試卷系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】重慶市推行“共享吉利博瑞車”服務(wù)，租用該車按行駛里程加用車時間收費，標(biāo)準(zhǔn)是“1元/公里
0.2元/分鐘”．剛在重慶參加工作的小劉擬租用“共享吉利博瑞車”上下班，同單位的鄰居老李告訴他：“上下班往返總路程雖然只有10公里，但偶爾開車上下班總共也需花費大約1小時”，并將自己近50天的往返開車的花費時間情況統(tǒng)計如表：
將老李統(tǒng)計的各時間段頻率視為相應(yīng)概率，假定往返的路程不變，而且每次路上開車花費時間視為用車時間．
（1）試估計小劉每天平均支付的租車費用（每個時間段以中點時間計算）；
（2）小劉認(rèn)為只要上下班開車總用時不超過45分鐘，租用“共享吉利博瑞車”為他該日的“最優(yōu)選擇”，小劉擬租用該車上下班2天，設(shè)其中有
天為“最優(yōu)選擇”，求
的分布列和數(shù)學(xué)期望．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
， 
（Ⅰ）當(dāng)
時，求函數(shù)
的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）若
時，關(guān)于
的不等式
恒成立，求實數(shù)
的取值范圍；
（Ⅲ）若數(shù)列
滿足
， 
，記
的前
項和為
，求證： 
.
【答案】（I）
；（II）
；（III）證明見解析.
【解析】試題分析：（Ⅰ）求出
，在定義域內(nèi)，分別令
求得
的范圍，可得函數(shù)
增區(qū)間， 
求得
的范圍，可得函數(shù)
的減區(qū)間；（Ⅱ）當(dāng)
時，因為
，所以
顯然不成立，先證明因此
時， 
在
上恒成立，再證明當(dāng)
時不滿足題意，從而可得結(jié)果；（III）先求出等差數(shù)列的前
項和為
，結(jié)合（II）可得
，各式相加即可得結(jié)論.
試題解析：（Ⅰ）由
，得
.所以
令
，解得
或
（舍去），所以函數(shù)
的單調(diào)遞減區(qū)間為 
.
（Ⅱ）由
得， 
當(dāng)
時，因為
，所以
顯然不成立，因此
.
令
，則
，令
，得
.
當(dāng)
時， 
， 
，∴
，所以
，即有
.
因此
時， 
在
上恒成立.
②當(dāng)
時， 
， 
在
上為減函數(shù)，在
上為增函數(shù)，
∴
，不滿足題意.
綜上，不等式
在
上恒成立時，實數(shù)
的取值范圍是
.
（III）證明：由
知數(shù)列
是
的等差數(shù)列，所以
所以
由（Ⅱ）得， 
在
上恒成立.
所以
. 將以上各式左右兩邊分別相加，得
.因為
所以
所以
.
【題型】解答題
【/span>結(jié)束】
22
【題目】已知直線
， (
為參數(shù)， 
為傾斜角).以坐標(biāo)原點為極點， 
軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線
的直角坐標(biāo)方程為
.
（Ⅰ）將曲線
的直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)點
的直角坐標(biāo)為
，直線
與曲線
的交點為
、
，求
的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，平面
平面
， 
， 
， 
， 
， 
．
（Ⅰ）求證： 
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值；
（Ⅲ）若點
在棱
上，且
平面
，求線段
的長．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某商場在一部向下運行的手扶電梯終點的正上方豎直懸掛一幅廣告畫．如圖，該電梯的高AB為4米，它所占水平地面的長AC為8米．該廣告畫最高點E到地面的距離為10.5米，最低點D到地面的距離6.5米．假設(shè)某人的眼睛到腳底的距離MN為1.5米，他豎直站在此電梯上觀看DE的視角為θ．
（1）設(shè)此人到直線EC的距離為x米，試用x表示點M到地面的距離；
（2）此人到直線EC的距離為多少米時，視角θ最大？
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f '(x)的圖象如圖所示,f(-1)=f(2)=3,令g(x)=(x-1)f(x),則不等式g(x)≥3x-3的解集是( )
A. [-1,1]∪[2,+∞)B. (-∞,-1]∪[1,2]
C. (-∞,-1]∪[2,+∞)D. [-1,2]
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，已知三棱錐O-ABC的三條側(cè)棱OA,OB,OC兩兩垂直， 
為等邊三角形， 
為
內(nèi)部一點，點
在
的延長線上，且PA=PB．
（Ⅰ）證明：OA=OB；
（Ⅱ）證明：平面PAB平面POC．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】
網(wǎng)絡(luò)是一種先進的高頻傳輸技術(shù)，我國的技術(shù)發(fā)展迅速，已位居世界前列.華為公司2019年8月初推出了一款手機，現(xiàn)調(diào)查得到該款手機上市時間
和市場占有率
（單位：%）的幾組相關(guān)對應(yīng)數(shù)據(jù).如圖所示的折線圖中，橫軸1代表2019年8月，2代表2019年9月……，5代表2019年12月，根據(jù)數(shù)據(jù)得出關(guān)于的線性回歸方程為
.若用此方程分析并預(yù)測該款手機市場占有率的變化趨勢，則最早何時該款手機市場占有率能超過0.5%（精確到月）（ ）
A.2020年6月B.2020年7月C.2020年8月D.2020年9月
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，點E，F，G分別為棱AB，AA1，C1D1的中點．下列結(jié)論中，正確結(jié)論的序號是______．
①過E，F，G三點作正方體的截面，所得截面為正六邊形；
②B1D1∥平面EFG；
③BD1⊥平面ACB1；
④異面直線EF與BD1所成角的正切值為
；
⑤四面體ACB1D1的體積等于
a3
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