【題目】如圖,在四棱錐中,平面
平面
,
,
,
,
,
.
(Ⅰ)求證: ;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)若點(diǎn)在棱
上,且
平面
,求線段
的長(zhǎng).
【答案】(Ⅰ)見解析. (Ⅱ).(Ⅲ)
.
【解析】試題分析:第一問根據(jù)面面垂直的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)得出線線垂直的結(jié)論,注意在書寫的時(shí)候條件不要丟就行;第二問建立空間直角坐標(biāo)系,利用法向量所成角的余弦值來求得二面角的余弦值;第三問利用向量共線的關(guān)系,得出向量的坐標(biāo),根據(jù)線面平行得出向量垂直,利用其數(shù)量積等于零,求得結(jié)果.
(Ⅰ)證明:因?yàn)槠矫?/span>⊥平面
,
且平面平面
,
因?yàn)?/span>⊥
,且
平面
所以⊥平面
.
因?yàn)?/span>平面
,
所以⊥
.
(Ⅱ)解:在△中,因?yàn)?/span>
,
,
,
所以,所以
⊥
.
所以,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.
所以,
,
,
,
,
,
.
易知平面的一個(gè)法向量為
.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為
,
則, 即
,
令,則
.
設(shè)二面角的平面角為
,可知
為銳角,
則,
即二面角的余弦值為
.
(Ⅲ)解:因?yàn)辄c(diǎn)在棱
,所以
,
.
因?yàn)?/san>,
所以,
.
又因?yàn)?/span>平面
,
為平面
的一個(gè)法向量,
所以,即
,所以
.
所以,所以
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,甲船由A島出發(fā)向北偏東45°的方向作勻速直線航行,速度為nmile/h,在甲船從A島出發(fā)的同時(shí),乙船從A島正南
nmile處的B島出發(fā),朝北偏東30°的方向作勻速直線航行,速度為
nmile/h.
(1)若兩船能相遇,求m;
(2)當(dāng)時(shí),兩船出發(fā)2小時(shí)后,求兩船之間的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】近年來鄭州空氣污染較為嚴(yán)重,現(xiàn)隨機(jī)抽取一年(365天)內(nèi)100天的空氣中指數(shù)的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù),統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下:
空氣質(zhì)量 | 優(yōu) | 良 | 輕微污染 | 輕度污染 | 中度污染 | 中度重污染 | 重度污染 |
天數(shù) | 4 | 13 | 18 | 30 | 9 | 11 | 15 |
記某企業(yè)每天由空氣污染造成的經(jīng)濟(jì)損失為(單位:元),
指數(shù)為
.當(dāng)
在區(qū)間
內(nèi)時(shí)對(duì)企業(yè)沒有造成經(jīng)濟(jì)損失;當(dāng)
在區(qū)間
內(nèi)時(shí)對(duì)企業(yè)造成經(jīng)濟(jì)損失成直線模型(當(dāng)
指數(shù)為150時(shí)造成的經(jīng)濟(jì)損失為500元,當(dāng)
指數(shù)為200時(shí),造成的經(jīng)濟(jì)損失為700元);當(dāng)
指數(shù)大于300時(shí)造成的經(jīng)濟(jì)損失為2000元.
(1)試寫出的表達(dá)式;
(2)試估計(jì)在本年內(nèi)隨機(jī)抽取一天,該天經(jīng)濟(jì)損失大于500元且不超過900元的概率;
(3)若本次抽取的樣本數(shù)據(jù)有30天是在供暖季,其中有8天為重度污染,完成下面列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認(rèn)為鄭州市本年度空氣重度污染與供暖有關(guān)?
附:
0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
1.32 | 2.07 | 2.70 | 3.74 | 5.02 | 6.63 | 7.87 | 10.828 |
,其中
.
非重度污染 | 重度污染 | 合計(jì) | |
供暖季 | |||
非供暖季 | |||
合計(jì) | 100 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】近年電子商務(wù)蓬勃發(fā)展, 年某網(wǎng)購(gòu)平臺(tái)“雙
”一天的銷售業(yè)績(jī)高達(dá)
億元人民幣,平臺(tái)對(duì)每次成功交易都有針對(duì)商品和快遞是否滿意的評(píng)價(jià)系統(tǒng).從該評(píng)價(jià)系統(tǒng)中選出
次成功交易,并對(duì)其評(píng)價(jià)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),網(wǎng)購(gòu)者對(duì)商品的滿意率為
,對(duì)快遞的滿意率為
,其中對(duì)商品和快遞都滿意的交易為
次.
(1)根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表,并回答能否有
的把握認(rèn)為“網(wǎng)購(gòu)者對(duì)商品滿意與對(duì)快遞滿意之間有關(guān)系”?
對(duì)快遞滿意 | 對(duì)快遞不滿意 | 合計(jì) | |
對(duì)商品滿意 | |||
對(duì)商品不滿意 | |||
合計(jì) |
(2)為進(jìn)一步提高購(gòu)物者的滿意度,平臺(tái)按分層抽樣方法從中抽取次交易進(jìn)行問卷調(diào)查,詳細(xì)了解滿意與否的具體原因,并在這
次交易中再隨機(jī)抽取
次進(jìn)行電話回訪,聽取購(gòu)物者意見.求電話回訪的
次交易至少有一次對(duì)商品和快遞都滿意的概率.
附: (其中
為樣本容量)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:函數(shù).
(1)此函數(shù)在點(diǎn)處的切線與直線
平行,求實(shí)數(shù)
的值;
(2)在(1)的條件下,若,
恒成立,求
的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線是中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在
軸上的雙曲線的右支,它的離心率剛好是其對(duì)應(yīng)雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng),且一條漸近線方程是
,線段
是過曲線
右焦點(diǎn)
的一條弦,
是弦
的中點(diǎn)。
(1)求曲線的方程;
(2)求點(diǎn)到
軸距離的最小值;
(3)若作出直線,
使點(diǎn)
在直線
上的射影
滿足
.當(dāng)點(diǎn)
在曲線
上運(yùn)動(dòng)時(shí),求
的取值范圍.
(參考公式:若為雙曲線
右支上的點(diǎn),
為右焦點(diǎn),則
.(
為離心率))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線,點(diǎn)
與拋物線
的焦點(diǎn)
關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,過點(diǎn)
且斜率為
的直線
與拋物線
交于不同兩點(diǎn)
,線段
的中點(diǎn)為
,直線
與拋物線
交于兩點(diǎn)
.
(Ⅰ)判斷是否存在實(shí)數(shù)使得四邊形
為平行四邊形.若存在,求出
的值;若不存在,說明理由;
(Ⅱ)求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,已知
平面
,且四邊形
為直角梯形,
,
,點(diǎn)
,
分別是
,
的中點(diǎn).
(1)求證:平面
;
(2)若點(diǎn)為棱
上一點(diǎn),且平面
平面
, 求證:
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